Является ли данная система векторов линейно зависимой. Линейная зависимость и независимость системы векторов

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание : при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

Система векторов линейно зависима.

Пример.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3 , то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Определение 1 . Линейной комбинацией векторовназывается сумма произведений этих векторов на скаляры:

Определение 2 . Система векторовназывается линейно зависимой системой, если линейная комбинация их (2.8) обращается в нуль:

причем среди чиселсуществует хотя бы одно, отличное от нуля.

Определение 3 . Векторыназываются линейно независимыми, если их линейная комбинация (2.8) обращается в нуль лишь в случае, когда все числа.

Из этих определений можно получить следующие следствия.

Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.

Доказательство . Пусть выполнено (2.9) и пусть для определенности, коэффициент. Имеем тогда:. Заметим, что справедливо и обратное утверждение.

Следствие 2. Если система векторовсодержит нулевой вектор, то эта система (обязательно) линейно зависима – доказательство очевидно.

Следствие 3 . Если средиn векторовкакие либоk () векторов линейно зависимы, то и всеn векторов линейно зависимы (опустим доказательство).

2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.

Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Необходимость . Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их линейная комбинация=0 и (ради определенности). Отсюда следует равенство, и (по определению умножения вектора на число) векторыиколлинеарны.

Достаточность . Пусть векторыиколлинеарны (║) (предполагаем, что они отличны от нулевого вектора; иначе их линейная зависимость очевидна).

По теореме (2.7) (см. §2.1,п.2 0) тогдатакое, что, или– линейная комбинация равна нулю, причем коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.

Из этой теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие . Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.

Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Необходимость . Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они компланарны.

Из определения линейной зависимости векторов следует существование чисел итаких, что линейная комбинация, и при этом (для определенности). Тогда из этого равенства можно выразить вектор:=, то есть векторравен диагонали параллелограмма, построенного на векторах, стоящих в правой части этого равенства (рис.2.6). Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.

Достаточность . Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно зависимы.

Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.

Перенесем три компланарных вектора в одну плоскость и приведем их к общему началу. Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторами; получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено тем, что векторыине коллинеарные по предположению векторы. Отсюда следует, что вектор=+. Переписав это равенство в виде (–1)++=0, заключаем, что векторы,илинейно зависимы.

Из доказанной теоремы вытекает два следствия.

Следствие 1 . Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости, определяемой векторамии, вектор. Существуют тогда числаитакие, что

Следствие 2 . Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.

Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.

Следствие . Для любых некомпланарных векторов,,и любого вектораитакие, что

Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.

Пусть имеются два линейно зависимых вектора и. В таком случае один из них является линейной комбинацией второго, то есть просто отличается от него численным множителем (например,). Геометрически это означает, что оба вектора находятся на общей прямой; они могут иметь одинаковое или противоположное направления (рис.2.8 хх).

Если же два вектора расположены под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число – такие векторы линейно независимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов иозначает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую.

Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.

Пусть векторы ,илинейно зависимы и пусть (для определенности) векторявляется линейной комбинацией векторови, то есть расположен в плоскости, содержащей векторыи. Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно зависимы.

Таким образом, векторы ,илинейно независимы в том и только в том случае, если они не лежат в одной плоскости.

3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.

Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.

Определение 2. Упорядоченная пара,неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости, определяемой заданными векторами.

Теорема 1 . Всякий векторна плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,:

и это представление единственно.

Доказательство . Пусть векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде.

Для доказательства единственности предположим, что имеется еще одно разложение . Имеем тогда=0, причем хотя бы одна из разностей отлична от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны; это противоречит утверждению, что они образуют базис.

Но тогда – разложение единственно.

Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.

Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.

Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.

Теорема 2 . Любой векторможет быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,,:

и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).

В разложениях (2.12) и (2.13) величины называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными координатами).

При фиксированном базисе иможно писать.

Например, если задан базис и дано, что, то это означает, что имеет место представление (разложение).

4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.

Пусть задан некоторый базис . Очевидно, задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор. Имеют место следующие предложения:

а) два вектора иравны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты:

б) при умножении вектора на числоего координаты умножаются на это число:

в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:

Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем

Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.

Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.

Пример 1 . В базисной системезаданы три вектора:,и. В базисе,,векторимеет разложение. Найти координаты векторав базисе.

Решение . Имеем разложения:,,; следовательно,=+2+= =, то естьв базисе.

Пример 2 . Пусть в некотором базисечетыре вектора заданы своими координатами:,,и.

Выяснить, образуют ли векторы базис; в случае положительного ответа найти разложение векторав этом базисе.

Решение . 1) векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов() и выясним, при какихиона обращается в нуль:=0. Имеем:

По определению равенства векторов в координатной форме получим следующую систему (линейных однородных алгебраических) уравнений: ;;, определитель которой=1, то есть система имеет (лишь) тривиальное решение. Это означает линейную независимость векторови, следовательно, они образуют базис.

2) разложим вектор в этом базисе. Имеем:=или в координатной форме.

Переходя к равенству векторов в координатной форме, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений: ;;. Решая ее (например, по правилу Крамера), получим:,,и (). Имеем разложение векторав базисе:=.

5 0 . Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Пусть имеется некоторая осьl , то есть прямая с выбранным на ней направлением и пусть задан некоторый вектор.Определим понятие проекции векторана осьl .

Определение . Проекцией векторана осьl называется произведение модуля этого вектора на косинус угла между осьюl и вектором (рис.2.10):

Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).

Отметим свойства проекций.

1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:

Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:

Доказательства свойств опустим.

6 0 . Прямоугольная декартова система координат в пространстве .Разложение вектора по ортам осей. Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных орта; для них вводим специальные обозначения. Поместив их начала в точкуO , направим по ним (в соответствии с ортами) координатные осиOx ,Oy иOz (ось с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчета и единицей длины называется координатной осью).

Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.

Займемся разложением произвольного вектора по базису . Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует, чтоможет быть и единственным образом разложен по базису(здесь вместо обозначения координатупотребляют):

В (2.21) суть (декартовы прямоугольные) координаты вектора. Смысл декартовых координат устанавливает следующая теорема.

Теорема . Декартовы прямоугольные координатывектораявляются проекциями этого вектора соответственно на осиOx ,Oy иOz .

Доказательство. Поместим векторв начало системы координат – точкуO . Тогда его конец будет совпадать с некоторой точкой.

Проведем через точку три плоскости, параллельные координатным плоскостямOyz ,Oxz иOxy (рис.2.11 хх). Получим тогда:

В (2.22) векторы иназываются составляющими векторапо осямOx ,Oy иOz .

Пусть через иобозначены соответственно углы, образованные векторомс ортами. Тогда для составляющих получим следующие формулы:

= =, = =, = =(2.23)

Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:

– координаты вектораесть проекции этого вектора на координатные осиOx ,Oy иOz соответственно.

Замечание . Числаназываются направляющими косинусами вектора.

Модуль вектора (диагональ прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле:

Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:

Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:

– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).

7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.

Определение . Радиусом-вектором (обозначается) называется вектор, соединяющий начало координатO с этой точкой (рис.2.12 хх):

Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.

Очевидно, координаты точкиM являются проекциями ее радиус-векторана координатные оси:

и, таким образом,

– радиус-вектор точки есть вектор, проекции которого на оси координат равны координатам этой точки. Отсюда следует две записи: и.

Получим формулы для вычисления проекций вектора по координатам его начала – точкеи конца – точке.

Проведем радиус-векторы и вектор(рис.2.13). Получим, что

– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.

8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .

1) условия коллинеарности векторов . Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 , формула (2.7)) следует, что для коллинеарности векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:=. Из этого векторного равенства получаем три в координатной форме равенства:, откуда следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:

– для коллинеарности векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

2) расстояние между точками . Из представления (2.29) следует, что расстояниемежду точкамииопределяется формулой

3) деление отрезка в данном отношении . Пусть даны точкиии отношение. Нужно найти– координаты точкиM (рис.2.14).

Имеем из условия коллинеарности векторов: , откудаи

Из (2.32) получим в координатной форме:

Из формул (2.32’) можно получить формулы для вычисления координат середины отрезка , полагая:

Замечание . Будем считать отрезкииположительными или отрицательными в зависимости от того, совпадает их направление с направлением от началаотрезка к концу, или не совпадает. Тогда по формулам (2.32) – (2.32”) можно находить координат точки, делящей отрезоквнешним образом, то есть так, что делящая точкаM находится на продолжении отрезка, а не внутри его. При этом конечно,.

4) уравнение сферической поверхности . Составим уравнение сферической поверхности – геометрического места точек, равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра – точки. Очевидно, что в данном случаеи с учетом формулы (2.31)

Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.

Линейная зависимость и независимость векторов

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Определение 22

Пусть имеем систему из n-векторови имеем набор чисел , тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23

Система векторовназываетсялинейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

Пусть , тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называетсялинейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Утверждение 3

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называетсялинейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всехравных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называетсялинейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

Пусть, тогда.

Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию(12) система линейно зависима.

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть- линейно зависимая подсистема, среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Теорема 4

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой.

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Теорема 5

Два вектора илинейно зависимы тогда и только тогда, когда.

 Необходимость.

и- линейно зависимы, что выполняется условие. Тогда, т.е..

Достаточность.

линейно зависимы. 

Следствие 5.1

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Следствие 5.2

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Теорема 6

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

 Необходимость.

Линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

где и. По правилу параллелограммаесть диагональ параллелограмма со сторонами, но параллелограмм – плоская фигуракомпланарны- тоже компланарны.

Достаточность .

Компланарны. Приложим три вектора к точке О:

– линейно зависимы

Следствие 6.1

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Следствие 6.2

Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Следствие 6.3

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Теорема 7

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точкуD, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипедOB 1 D 1 C 1 ABDC .

Рассмотрим OB 1 D 1 C 1 – параллелограмм по построению по правилу параллелограмма.

Рассмотрим OADD 1 – параллелограмм (из свойства параллелепипеда), тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1 такие, что. Тогда, и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Следствие 7.1

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Следствие 7.2

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.