Производная. Геометрический и механический смысл производной

Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга»

Мартусевич Татьяны Олеговны

Дата: 29.12.2014.

Тема: Геометрический смысл производной.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.

Образовательные задачи:

Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи;

обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»;

создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

содействовать воспитанию интереса к математике;

воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ.

Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point .

Этап урока

Время

Деятельность преподавателя

Деятельность учащегося

1. Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока.

Тема: Геометрический смысл производной.

Цель урока.

Подготовка студентов к работе на занятии.

Подготовка к работе на занятии.

Осознание темы и цели урока.

Конспектирование.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла.

Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний.

Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций.

Нахождение производной данных функций по формулам.

Повторение свойств линейной функции.

Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя

3. Работа с новым материалом: объяснение.

Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента

Объяснение геометрического смысла производной.

Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией.

Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя.

Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.

Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление.

Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения.

Создание конспекта.

Формулирование геометрического смысла производной.

Рассмотрение трех случаев.

Конспектирование, выполнение рисунков.

4. Работа с новым материалом.

Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

В каких точках производная положительна?

Отрицательна?

Равна нулю?

Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику.

Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

Сообщение условия задачи.

Запись условия задачи.

Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения

6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.

Решите задачу самостоятельно:

Применение полученных знаний.

Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.

7. Работа с новым материалом: объяснение.

Вывод уравнения касательной к графику функции в точке.

Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся.

Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя.

Конспектирование, создание рисунка.

8. Работа с новым материалом: объяснение.

В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.

Конспектирование.

Сообщение условия задачи.

Обучение применению полученных знаний.

Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением.

Запись условия задачи.

Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем.

Запись решения задачи и ответа.

9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.

Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости.

Проверка и объяснение решения с использованием презентации.

Применение полученных знаний.

10. Домашнее задание.

§48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками.

№ 860 (2,4,6,8),

Сообщение домашнего задания с комментариями.

Запись домашнего задания.

11. Подведение итогов.

Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции.

Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной.

Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке.

Корректировка и уточнение итогов урока.

Перечисление итогов урока.

12. Рефлексия.

1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно.

а) усвоил(а) полностью, могу применить;

б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении;

в) не усвоил(а).

3. Мультимедийная презентация на уроке:

а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала;

в) мешала усвоению материала.

Проведение рефлексии.

Производная функции.

1. Определение производной, её геометрический смысл.

2.Производная сложной функции.

3. Производная обратной функции.

4. Производные высших порядков.

5. Параметрически заданные функции и неявно.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Введение.

Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.

1) Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном законе движения.

2) Вопрос о нахождении (с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.

Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.

Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.

Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.

Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит важнейшим показателем его работы. Быстрота прироста населения того или иного государства является одной из основных характеристик его общественного развития.

Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.

Определение производной, её геометрический смысл.

Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.

1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит

приращение :

2. Составим отношение .

3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел

существует, получим величину , которую называют

производной функции по аргументу х .

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.

Значение производной очевидно зависит от точки х , в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от х . Обозначается .

По определению имеем

или (3)

Пример. Найти производную функции .

1. ;

Тип задания: 7

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.

Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую

проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases}

Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.

Показать решение

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.

Для выяснения геометрического значения производной рассмотрим график функции y = f(x). Возьмем произвольную точку М с координатами (x, y) и близкую к ней точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведем ординаты $\overline{M_{1} M}$ и $\overline{N_{1} N}$, а из точки М -- параллельную оси ОХ прямую.

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ является тангенсом угла $\alpha $1, образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При стремлении $\Delta $х к нулю точка N будет приближаться к M, а предельным положением секущей MN станет касательная MT к кривой в точке M. Таким образом, производная f`(x) равна тангенсу угла $\alpha $, образованного касательной к кривой в точке M (х, y) с положительным направлением к оси ОХ -- угловому коэффициенту касательной (рис.1).

Рисунок 1. График функции

Вычисляя значения по формулам (1), важно не ошибиться в знаках, т.к. приращение может быть и отрицательным.

Точка N, лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. Так, если на рисунке 1, касательной придать противоположное направление, угол $\alpha $ изменится на величину $\pi $, что существенно повлияет на тангенс угла и соответственно угловой коэффициент.

Вывод

Следует вывод, что существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f(x), а угловой коэффициент -- tg $\alpha $ = f`(x) конечный. Поэтому касательная не должна быть параллельной оси OY, иначе $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс угла будет бесконечным.

В некоторых точках непрерывная кривая может не иметь касательной или иметь касательную параллельную оси OY (рис.2). Тогда в этих значениях функция не может иметь производную. Подобных точек может быть сколько угодно много на кривой функции.

Рисунок 2. Исключительные точки кривой

Рассмотрим рисунок 2. Пусть $\Delta $x стремится к нулю со стороны отрицательных или положительных значений:

\[\Delta x\to -0\begin{array}{cc} {} & {\Delta x\to +0} \end{array}\]

Если в данном случае отношения (1) имеют конечный придел, он обозначается как:

В первом случае -- производная слева, во втором -- производная справа.

Существование предела говорит о равносильности и равенстве левой и правой производной:

Если же левая и правая производные неравны, то в данной точке существуют касательные не параллельные OY (точка М1, рис.2). В точках М2, М3 отношения (1) стремятся к бесконечности.

Для точек N лежащих слева от M2, $\Delta $x $

Справа от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но выражение также f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Для точки $M_3$ слева $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. выражения (1) и слева, и справа положительны и стремятся к +$\infty $ как при приближении $\Delta $x к -0, так и к +0.

Случай отсутствия производной в конкретных точках прямой (x = c) представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. Отсутствие производных

Пример 1

На рисунке 4 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Найти значение производной функции в абсциссе.

Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-3,2) и C (-2.4).

Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).